下面以半無限大的鑄件為例，運用導(dǎo)熱微分方程式

求鑄件和鑄型中的溫度場。

假設(shè)具有一個平面的半無限大鑄件在半無限大的鑄

型中冷卻，如圖１２３所示。鑄件和鑄型的材料是均質(zhì)

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的，其熱擴散率α１ 和α２ 近似地為不隨溫度變化的定值，鑄型的初始溫度為ｔ２０，并設(shè)液態(tài)金

屬充滿鑄型后立即停止流動，且各處溫度均勻，即鑄件的初始溫度為ｔ１０，將坐標的原點設(shè)

在鑄件與鑄型的接觸面上。在這種情況下，鑄件和鑄型任意一點的溫度ｔ與ｙ和ｚ無關(guān)，為

一維導(dǎo)熱問題。

這些雜質(zhì)往往不只是一種，而是多種多樣的，它們在液體中不會很均勻地分布。它們的存在方式也是不同的，有的以溶質(zhì)方式，有的與其他原子形成某些化合物 （液態(tài)、固態(tài)或氣態(tài)的夾雜物）。下面先就一個最簡單的模型作一分析，假定液體中只存在一種雜質(zhì)原子。當(dāng)金屬中存在第二種原子時 （如合金），情況就復(fù)雜多了。由于同種元素及不同元素之間的原子間結(jié)合力是不同的，結(jié)合力較強的原子容易聚集在一起，把別的原子排擠到別處。因此，在游動集團中有的Ａ種原子多，有的Ｂ種原子多，即游動集團之間存在著成分不均勻性，稱為 “濃度起伏”。

空穴的產(chǎn)生使局部地區(qū)能壘

降低，鄰近的原子則進入空穴位置，造成空穴的移動。溫度愈高，原子的能量愈大，產(chǎn)生的

空穴數(shù)目愈多，從而使金屬膨脹。在熔點附近，空穴數(shù)目可達原子總數(shù)的１０％。

當(dāng)把金屬加熱到熔點時，會使金屬的體積突然膨脹３％～５％。這個數(shù)值等于固態(tài)金屬

力學(xué)溫度零度加熱到熔點前的總膨脹量。除此之外，金屬的其他性質(zhì)如電阻、黏性等在

度下發(fā)生突變。同時，這種突變還反映在熔化潛熱上，即金屬在此時吸收大量熱量，溫

不升高。這些突變現(xiàn)象是不能僅僅用離位原子和空穴數(shù)目的增加加以解釋的。